Công thức tính diện tích tam giác: vuông, thường, cân, đều

Có rất nhiều các cách khác nhau để tính diện tích tam giác với nhiều công thức được sử dụng phổ biến cũng như công thức khi sử dụng cần được phải chứng minh. Ở bài viết này, Quantrimang.com sẽ giới thiệu đến các bạn những cách tính diện tích tam giác dễ hiểu và được sử dụng nhiều nhất để bạn có thể áp dụng ngay trong các bài thi.

Để tính diện tích tam giác bạn cần xác định loại tam giác đó là gì, từ đó tìm ra công thức tính diện tích chính xác và các yếu tố cần thiết để tính diện tích tam giác nhanh nhất.

Các loại tam giác

Tam giác thường: là tam giác cơ bản nhất, có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong cũng khác nhau. Tam giác thường cũng có thể bao gồm các trường hợp đặc biệt của tam giác.

Tam giác cân: là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy. Tính chất của tam giác cân là hai góc ở đáy thì bằng nhau.

Tam giác đều: là trường hợp đặc biệt của tam giác cân có cả ba cạnh bằng nhau. Tính chất của tam giác đều là có 3 góc bằng nhau và bằng 60 $^{circ$ .

Tam giác vuông: là tam giác có một góc bằng 90 $^{circ$ (là góc vuông).

Tam giác tù: là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90 $^{circ$ (một góc tù) hay có một góc ngoài bé hơn 90 $^{circ$ (một góc nhọn).

Tam giác nhọn: là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn 90 $^{circ$ (ba góc nhọn) hay có tất cả góc ngoài lớn hơn 90 $^{circ$ (sáu góc tù).

Tam giác vuông cân: vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân.

Công thức diện tích tam giác

1. Tính diện tích tam giác thường

Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

a. Công thức chung

Diện tích tam giác bằng ½ tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó.

$S_{ABC = frac{1 {2 a.h_{a = frac{1 {2 b.h_{b = frac{1 {2 c.h_{c$

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.

Giải: Chiều cao 24dm = 2,4m

Diện tích tam giác là

$S=frac{5times2.4 {2 =6 m^2$

b. Tính diện tích tam giác khi biết một góc

Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

$S_{ABC = frac{1 {2 a.b.sinhat{C = frac{1 {2 a.c.sinhat{B = frac{1 {2 b.c.sinhat{A$

Ví dụ:

Tam giác ABC có cạnh BC = 7, cạnh AB = 5, góc B bằng 60 độ. Tính diện tích tam giác ABC?

Giải:

c. Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron.

Sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:

$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)$

Với p là nửa chu vi tam giác:

$p = frac{1 {2 (a + b + c)$

Có thể viết lại bằng công thức:

$S = frac{1 {4 sqrt{(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)$

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài cạnh AB = 8, AC = 7, CB = 9

Giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là

$p=frac{AB + AC +BC {2 =frac{8 + 7 + 9 {2 =12$

Áp dụng công thức hero ta có

$S = sqrt{pleft(p-ABright)left(p-ACright)left(p-BCright)$

$=sqrt{12left(12-8right)left(12-7right)left(12-9right)$

$=12sqrt{5$

d. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R).

$S_{ABC = frac{abc {4R$

Cách khác:

$S_{ABC = 2.R^{2 .sinhat{A .sinhat{B .sinhat{C$

Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lưu ý: Cần phải chứng minh được R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh a = 6, b = 7, c = 5, R = 3 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Tính diện tích của tam giác ABC.

Giải:

$S=frac{abc {4R = frac{6times7times5 {4times3sqrt{2 =frac{210 {12sqrt{2 =frac{35sqrt{2 {4$

e. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r).

$S_{ABC = p.r$

p: Nửa chu vi tam giác.
r: Bán kính đường tròn nội tiếp.

Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC biết độ dài các cạnh AB = 20, AC = 21, BC = 15, r = 5 (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Giải:

Nửa chu vi tam giác là:

$p=frac{AB + AC +BC {2 =frac{20+21+15 {2 =28$

r= 5

Diện tích tam giác là:

$S=ptimes r=28times5=140$

2. Tính diện tích tam giác cân

Tam giác cân ABC có ba cạnh, a là độ dài cạnh đáy, b là độ dài hai cạnh bên, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

Áp dụng công thức tính diện tích thường, ta có công thức tính diện tích tam giác cân:

$S_{ABC = frac{1 {2 a.h_{a$

3. Tính diện tích tam giác đều

Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau, a là độ dài các cạnh như hình vẽ:

Áp dụng định lý Heron để suy ra, ta có công thức tính diện tích tam giác đều:

$S_{ABC = a^{2 frac{sqrt{3 {4$

4. Tính diện tích tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại B, a, b là độ dài hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích thường cho diện tích tam giác vuông với chiều cao là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh còn lại.

Công thức tính diện tích tam giác vuông:

$S_{ABC =frac{1 {2 a.b$

5. Tính diện tích tam giác vuông cân

Tam giác ABC vuông cân tại A, a là độ dài hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông cho diện tích tam giác vuông cân với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, ta có công thức:

$S_{ABC =frac{1 {2 a^{2$

Công thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz

Về mặt lý thuyết, ta đều có thể dử dụng các công thức trên để tính diện tích tam giác trong không gian hay trong không gian Oxyz. Tuy nhiên như vậy sẽ gặp một số khó khăn trong tính toán. Do đó trong không gian Oxyz, người ta thường tính diện tích tam giác bằng cách sử dụng tích có hướng.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

Ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A(-1;1;2), B(1;2;3), C(3;-2;0). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài giải:

Trên đây là tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác thông dụng, tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz. Nếu có bất kì băn khoăn, thắc mắc hay đóng góp, các bạn hãy để lại comment bên dưới để cùng trao đổi với Quantrimang.com nhé.

Post Views: 393